Question

已知等差数列{a n }的公差大于0，且a 3 ，a 5 是方程x 2 -14x+45=0的两根，数列{b n }的前n

Answer 1

（Ⅰ）∵a ₃，a ₅是方程x ²-14x+45=0的两根，且数列{a _n}的公差d＞0，

∴a ₃=5，a ₅=9，公差 d=

a 5 - a 3

5-3 =2.

∴a _n=a ₅+（n-5）d=2n-1．（3分）

又当n=1时，有 b 1 = S 1 =

1- b 1

2

∴ b 1 =

1

3

当 n≥2时，有 b n = S n - S n-1 =

1

2 ( b n-1 - b n )，∴

b n

b n-1 =

1

3 (n≥2).

∴数列{b _n}是首项 b 1 =

1

3 ，公比 q=

1

3 等比数列，

∴ b n = b 1 q n-1 =

1

3 n . （6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 c n = a n b n =

2n-1

3 n ，则 T n =

1

3 1 +

3

3 2 +

5

3 3 ++

2n-1

3 n （1）

∴

1

3 T n =

1

3 2 +

3

3 3 +

5

3 4 ++

2n-3

3 n +

2n-1

3 n+1 （2）（10分）

（1）-（2）得：

2

3 T n =

1

3 +

2

3 2 +

2

3 3 ++

2

3 n -

2n-1

3 n+1 =

1

3 +2(

1

3 2 +

1

3 3 ++

1

3 n )-

2n-1

3 n+1

化简得： T n =1-

n+1

3 n （12分）