解题思路：（I）利用倍角公式化简f（x）为一个角的三角函数，再根据正弦函数的最小正周期为2π来求；
（II）可求得g（x）=2sin（2x+2φ）+1，利用在
x＝
π
3
处取得最大值时，角2x+2φ=2kπ+[π/2]，k∈z，求出φ．
（III）根据正弦函数的单调增区间是[2kπ-[π/2]，2k
π+
π
2
]，k∈z，整体代入，通过解不等式解得函数g（x）的单调增区间．
f（x）=4sin2x•
1−cos(2x+
π
2)
2+cos4x=2sin2x•（1+sin2x）+cos4x=2sin2x+2sin22x+1-2sin22x=2sin2x+1．
（Ⅰ）T＝
2π
2＝π．
（Ⅱ）g（x）=f（x+φ）=2sin（2x+2φ）+1，
∵在x＝
π
3处取得最大值，∴2×[π/3]+2φ=2kπ+[π/2]，k∈z，
解得φ＝−
π
12+kπ，k∈z，-[π/2]＜φ＜[π/2]，
∴φ=-[π/12]．
（III）g（x）=2sin（2x-[π/6]）+1，
-[π/2]+2kπ≤2x-[π/6]≤2kπ+[π/2]，k∈Z，
解得-[π/6]+kπ≤x≤kπ+[π/3]，k∈z，
∴g（x）的单调递增区间是[kπ−
π
6，kπ+
π
3]，k∈z．
点评：
本题考点： 两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．
考点点评： 本题考查了倍角的正弦、余弦函数，考查了正弦函数的周期性，单调性及求法．利用三角公式化简三角函数是解答本题的关键．