Question

设x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实根，当m为何值时，x12+x22有最小值，并求这个最小值．

Answer 1

解题思路：由韦达定理知x₁²+x₂²是关于m的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m的取值范围，从判别式入手．

∵x₁、x₂是方程2x²-4mx+2m²+3m-2=0的两个实根，

∴△=（-4m）²-4×2×（2m²+3m-2）≥0，可得m≤[2/3]，

又x₁+x₂=2m，x₁x₂=

2m2+3m−2

2，

∴x₁²+x₂²=2( m−

3

4) 2+[7/8]=2(

3

4−m)2+[7/8]，

∵m≤[2/3]，

∴[3/4]-m≥[3/4]-[2/3]＞0，

∴当m=[2/3]时，x₁²+x₂²取得最小值为2×(

3

4−

2

3) 2+[7/8]=[8/9]．

点评：

本题考点： 二次函数的最值；根的判别式；根与系数的关系．

考点点评： 本题考查了某一区间的条件限制的二次函数最值问题及根的判别式，难度较大，关键掌握：当抛物线的顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值，当抛物线的顶点不在该区间内，二次函数的最值在区间内两端点处取得．