Question

如图,已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt三角形ABC所在平面,且PA=AB=AC.求证PA平行于平面QBC；若PQ垂直

Answer 1

（Ⅰ）证明：过点Q作QD⊥BC于点D,

∵平面QBC⊥平面ABC,∴QD⊥平面ABC．

又∵PA⊥平面ABC,

∴QD∥PA,

又∵QD⊂平面QBC,PA⊄平面QBC,

∴PA∥平面QBC．

（Ⅱ）∵PQ⊥平面QBC,

∴∠PQB=∠PQC=90°,又∵PB=PC,PQ=PQ,

∴△PQB≌△PQC,∴BQ=CQ．

∴点D是BC的中点,连接AD,则AD⊥BC．

∴AD⊥平面QBC,∴PQ∥AD,AD⊥QD．

∴四边形PADQ是矩形．

设PA=AB=AC=2a,

则PQ=AD=a,PD=a．

又∵BC⊥PA,BC⊥PQ,∴BC⊥平面PADQ,

从而平面PBC⊥平面PADQ,过Q作QH⊥PD于点H,则QH⊥平面PBC．

∴∠QCH是CQ与平面PBC所成的角．

在Rt△PQD中,PQ•QD=PD•QH,则QH==,CQ=BQ=a．

∴sin∠QCH==．

∴CQ与平面PBC所成角的正弦值为