Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝−23，满足Sn+1Sn+2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想

Answer 1

解题思路：由题设可得 S_n-1S_n+2S_n+1=0，求得S₁，S₂，S₃的值，猜测S_n =-[n+1/n+2]，n∈N₊；用数学归纳法证明，检验n=1时，猜想成立；假设S_K=-[K+1/K+2]，则当n=k+1时，由条件可得，

S

K+1

+

1

S

K+1

＝

S

K+1

−

S

K

−2

，解出 S_K+1=-[K+2/K+3]，故n=k+1时，猜想仍然成立．

由题设得S_n²+2S_n+1-a_nS_n=0，当n≥2（n∈N^*）时，a_n=S_n-S_n-1，

代入上式，得S_n-1S_n+2S_n+1=0．（*）

S₁=a₁=-[2/3]，

∵S_n+[1

Sn=a_n-2（n≥2，n∈N），令n=2可得

，S₂+

1

S2=a₂-2=S₂-a₁-2，

∴

1

S2=

2/3]-2，

∴S₂=-[3/4]．

同理可求得 S₃=-[4/5]，S₄=-[5/6]．

猜想S_n =-[n+1/n+2]，n∈N₊，下边用数学归纳法证明：

①当n=1时，S₁=a₁=-[2/3]，猜想成立．

②假设当n=k时猜想成立，即S_K=-[K+1/K+2]，则当n=k+1时，∵S_n+[1

Sn=a_n-2，∴SK+1+

1

SK+1＝ak+1−2，

∴SK+1+

1

SK+1＝SK+1−SK−2，∴

1

SK+1=

K+1/K+2]-2=[−K−3/K+2]，

∴S_K+1=-[K+2/K+3]，∴当n=k+1时，猜想仍然成立．

综合①②可得，猜想对任意正整数都成立，即 S_n =-[n+1/n+2]，n∈N₊成立．

点评：

本题考点： 归纳推理．

考点点评： 本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明当n=k+1时，Sn =-[n+1/n+2]，n∈N+，是解题的难点．