Question

如图，在△AFC中，AF=AC，B是CF的中点，AH平分∠CAE，作CD⊥AH于D．

Answer 1

证明：（1）在△AFC中，

∵AF=AC，

∴△ACF是等腰三角形，

∵B是CF的中点，

∴AB⊥FC，∠FAB=∠CAB，

∵AH是△AFC外角∠CAE的平分线，

∴∠EAH=∠CAH，

∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=

1

2 × 180°=90°，

又∵AB⊥FC，CD⊥AH，

∴∠ABC=∠CDA=90°，

∴四边形ABCD为矩形；

（2）∴∠EAC=∠AFC+∠ACF，AH是∠CAE的平分线，∠AFC=∠ACF，

∴∠EAH=∠AFC，

∴AD ∥ FB，

∵FB=BC，AD=BC，

∴AD=FB，

∴四边形AFBD是平行四边形，

∴BD ∥ AF且BD=AF，

∴OB=

1

2 AF，

∴OB ∥ AF且OB=

1

2 AF；

（3）给出正确条件即可．

例如，当AB=

1

2 FC时，四边形ABCD是正方形．

∵B是CF的中点，

∴BC=

1

2 FC，

又∵AB=

1

2 FC，

∴BC=AB，

又∵（1）四边形ABCD为矩形，

∴矩形ADCE是正方形．