Question

已知函数f(x)=(x^2+ax+7a)/(x+1),a∈R,若对于任意的x∈N*,f (x)≥4恒成立,则a的取值范围

Answer 1

(x^2+ax+7＋a)/(x+1)≥4,x∈N*,

(x^2+ax+7＋a)/(x+1)≥4

[(x+1)²+（a-2）x+6+a]/(x+1)≥4

[(x+1)²+（a-2）（x+1）+8 ]/(x+1)≥4

(x+1)+（a-2）+8 /(x+1)≥4

a≥6-[(x+1)+8 /(x+1)]恒成立

∴a≥﹛6-[(x+1)+8 /(x+1)]﹜max

=6-4√2,当x=2√2-1时取得

因为x∈N*,所以当x=2时,﹛6-[(x+1)+8 /(x+1)]﹜max=1／3

∴a≥1／3

或x^2+ax+7＋a≥4x+4,x∈N*,

﹙x＋1﹚a≥﹣﹙x²－4x+3﹚,

a≥﹣﹙x²－4x+3﹚／﹙x＋1﹚

=﹣[﹙x＋1﹚²－6﹙x＋1﹚＋8]／﹙x＋1﹚

=﹣[﹙x＋1﹚－6＋8／﹙x＋1﹚]

∴a≥﹛﹣[﹙x＋1﹚－6＋8／﹙x＋1﹚]﹜max=6-4√2

当x=2√2-1时取得

因为x∈N*,所以当x=2时,﹛6-[(x+1)+8 /(x+1)]﹜max=1／3

∴a≥1／3