Question

将2，3，4，5…n（n为大于4的整数）分成两组，使得每组中任意两数之和都不是完全平方数．那么，整数n可以取得的最大值是

Answer 1

{2，3，4，5…n}为了将这些分成两组，使得每组中任意两数之和都不是完全数，那么将某一平方数表示成两个数的和之后，这两个数必不能分在同一组．比如9=2+7，那么2、7必须要分在不同的组．

我们假设分成的这两组数是

A={a ₁，a ₂…ai}，

B={b ₁，b ₂，…bj}，

那么必有 ak∈A，而m ²-ak≠ak时，必有 {m ²-ak}∈B （其中m=2，3，4，5…），

同样地，也必有bk∈B时，而m ²-bk≠bk时，必有 {m ²-bk}∈A （m=2，3，4，5…），

这样，不失一般性，我们假设2分在A组，即 a ₁=2，

那么 {m ²-2}∈B

b ₁=3 ²-2=7，

b ₂=4 ²-2=14，

b ₃=5 ²-2=23

同样地，当 b ₁=7时 {m ²-7}∈A，即

{4 ²-7，52-7，6 ²-7…}∈A，

这样，我们有：

A={2，9，18，29，11，4，13，6，8，15，20，22，24，26}

B={7，14，23，34，5，12，3，10，16，17，19，21，25，27}

这种分组方案是不可调整的，就是说，无论从A取什么数到B，B中都会出现两个数的和是完全平方数，同样地，也不能从B中取某数到A中．

所以，n的最大值是27．

故答案为：27．