Question

证明几何定理在三角形外接圆上的任意一点向三角形三边作垂线,三边的垂足在同一条直线上

Answer 1

如图,P是△ABC外接圆上的任意一点,PD⊥BC,PE⊥AC,PF⊥AB,D、E、F分别是垂足,显见E和F分居于BC两侧.分别连接ED、FD、PB、PC.

∵∠PEC=∠PDC=90°,∴PECD是圆内接四边形,∠1=∠2；

∵∠PFB=∠PDB=90°,∴PBFD是圆内接四边形,∠3=∠4,

注意到PBAC是圆内接四边形,∠PCE=∠PBA,它们的余角∠2=∠4,

∴∠1=∠3,则DE和DF互为反向延长线,即E、D、F三点处在同一条直线上.