Question

利用初等变换求下列矩阵的逆阵(1,1,1,1;1,1,-1,-1;1,-1,1,-1;1,-1,-1,1)

Answer 1

用初等行变化求矩阵的逆矩阵的时候,

即用行变换把矩阵(A,E)化成(E,B)的形式,那么B就等于A的逆

在这里

(A,E)=

1 1 1 1 1 0 0 0

1 1 -1 -1 0 1 0 0

1 -1 1 -1 0 0 1 0

1 -1 -1 1 0 0 0 1 第2行减去第1行,第3行减去第1行,第4行减去第1行

1 1 1 1 1 0 0 0

0 0 -2 -2 -1 1 0 0

0 -2 0 -2 -1 0 1 0

0 -2 -2 0 -1 0 0 1 第2,3,4行分别除以-2

1 1 1 1 1 0 0 0

0 0 1 1 1/2 -1/2 0 0

0 1 0 1 1/2 0 -1/2 0

0 1 1 0 1/2 0 0 -1/2 第2行加上第3行,第2行加上第4行

1 1 1 1 1 0 0 0

0 2 2 2 3/2 -1/2 -1/2 -1/2

0 1 0 1 1/2 0 -1/2 0

0 1 1 0 1/2 0 0 -1/2 第2行除以2

1 1 1 1 1 0 0 0

0 1 1 1 3/4 -1/4 -1/4 -1/4

0 1 0 1 1/2 0 -1/2 0

0 1 1 0 1/2 0 0 -1/2

第1行减去第2行,第3行减去第2行,第4行减去第2行

1 0 0 0 1/4 1/4 1/4 1/4

0 1 1 1 3/4 -1/4 -1/4 -1/4

0 0-1 0 -1/4 1/4 -1/4 1/4

0 0 0-1 -1/4 1/4 1/4 -1/4

第2行加上第3行,第2行加上第4行,第3、4行乘以-1

1 0 0 0 1/4 1/4 1/4 1/4

0 1 0 0 1/4 1/4 -1/4 -1/4

0 0 1 0 1/4 -1/4 1/4 -1/4

0 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/4

这样就已经通过初等行变换把(A,E)～(E,A^-1)

于是得到了原矩阵的逆矩阵就是

1/4 1/4 1/4 1/4

1/4 1/4 -1/4 -1/4

1/4 -1/4 1/4 -1/4

1/4 -1/4 -1/4 1/4