Question

如图，已知AB=AC，∠A=36°，线段AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，有下面3个结论：

Answer 1

解题思路：由于MN是AB的中垂线，那么AD=BD，于是∠A=∠ABD=36°，利用三角形外角性质可得∠BDC=2∠A=72°，而AB=AC，∠A=36°，易求∠ABC=∠ACB=72°，从而有∠BDC=∠ABC，∠C=∠C，可证△ABC∽△BDC，于是AB：BD=BC：DC，又BD=AD=BC，AB=AC，等量代换可得AD²=DC•AC．

证明：如图所示，

∵MN是AB的中垂线，

∴AD=BD，

∴∠A=∠ABD=36°，

∴∠BDC=2∠A=72°，

∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠ACB=72°，

∴∠BDC=∠ABC，∠C=∠C，

∴△ABC∽△BDC，

∴AB：BD=BC：DC，

又∵BD=AD=BC，AB=AC，

∴AD²=DC•AC．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；黄金分割．

考点点评： 本题考查了线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质．解题的关键是求出∠BDC，并证明△ABC∽△BDC．