Question

三角形ABC中,∠ABC的平分线BE与BC边的中线AD垂直,且BE=AD=4,求ABC三边之长

Answer 1

设BE⊥AD于P;连接DE;作DF平行BE且交AC于F;

由于BE平分∠ABC且BE⊥AD,由三线合一得△ABD是等腰三角形,AB=BD;

且P是AD中点,AP=PB=AD/2=2;

由于D是BC中点,则可知S△CDE=S△BDE=S△ABE=(1/2)·BE·AP=4;

S△ABC=3·S△ABE=12;

S△ACD=(1/2)S△ABC=6;

S△BCE=S△ABC-S△ABE=8;

由于DF是△BCE的中位线,则△CDF∽△BCE,相似比为1:2;

则S△CDF=(1/2)^2·S△BCE=2;

于是

S△ADF=S△ADC-S△CDF=4;

∵DF平行BE,且BE⊥AD

∴DF⊥AD.

则S△ADF=(1/2)·AD·DF

即(1/2)·AD·DF=4

→DF=2;

前已证明AP=PB=AD/2,又∵DF平行BE

∴PE是△ADF的中位线,则PE=DF/2=1;

则AE=√(AP^2 + PE^2) =√5;

∵△ABE与△ABC等高,且S△ABC=3·S△ABE

∴AC=3AE=3√5;

BP=BE-PE=3;

AB=√(AP^2 + BP^2) =√13;

BC=2BD=2AB=2√13;