Question

f(x)=e^x-x∫f(t)dt+∫tf(t)dt,（其中式子中积分为定积分,上限均为x,下线均为0）,其f连续,求f

Answer 1

对f(x)=e^x-x∫f(t)dt+∫tf(t)dt求导得,f'(x)=e^x-∫f(t)dt

再对上式两边求导得,f''(x)=e^x-f(x)

即f'(x)+f(x)=e^x

所以,f(x)=e^(-∫1dx)[∫e^xe^(∫1dx+C)dt]=e^(-x)[∫e^(2x)dx+C]=e^(-x)[e^(2x)/2+C]=(e^x)/2+Ce^(-x)