Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）+f（x-1）=-2x2+4x，

Answer 1

解题思路：（1）因为函数为二次函数，设出解析式代入到f（x+1）+f（x-1）=-2x²+4x，求出f（x）的解析式即可；

（2）因为此二次函数为开口向下的抛物线，讨论区间[a，a+2]在二次函数对称轴左边右边和之间三种情况得到函数的最大值即可．

（1）设f（x）=ax²+bx+c，

a（x+1）²+b（x+1）+c+a（x-1）²+b（x-1）+c=-2x²+4x，

2ax²+2bx+2a+2c=-2x²+4x，

a＝−1

b＝2

c＝1，∴f(x)＝−x2+2x+1．

（2）f（x）=-（x-1）²+2，

①a+2＜1即a＜-1，当x=a+2，f（x）_max=-a²-2a+1；

②a≤1≤a+2即-1≤a≤1，当x=1，f（x）_max=2；

③a＞1，当x=a，f（x）_max=-a²+2a+1；

故f(x)max＝

−a2−2a+1，a＜−1

2，−1≤a≤1

−a2+2a+1，a＞1

点评：

本题考点： 函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．

考点点评： 考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，理解函数最值及几何意义的能力．