Question

积分的一些相关公式证明 这是我们学过的微积分里面推导的两个公式,第一个的第一个用换元可以证明但第二个就不会了.还有下面的

Answer 1

J(a,b)f(x)dx为函数f(x)从[a,b]的积分,pi为圆周率

sinx 在[0,1]之间,当x在[0,pi]之间 所以f(sinx)在[0,pi]之间连续,因此,f(sinx)在[0,pi]上可积.

同理可证f(cosx)在[0,pi/2]上可积.

xf(sinx)在[0,pi]上连续,因此xf(sinx)也可积.

1.令x = pi/2 - t

J(0,pi/2) f(sinx) dx = J(pi/2,0) f(sin(pi/2 - t)) d(pi/2 - t) = J(pi/2,0) f(cos t) -1 dt

= J(0,pi/2)f(cost)dt = J(0,pi/2)f(cosx)dx

2.令x = pi - t,则

J(0,pi) xf(sinx) dx = J(pi,0) (pi - t)f(sin(pi - t))d(pi - t) = J(pi,0) (pi - t)f(sint) -dt

= J(0,pi) (pi - t)f(sint)dt = J(0,pi) pi * sint dt - J(0,pi) t sint dt

=pi * J(0,pi) sinx dx - J(0,pi) x sinx dx

将等式右边 J(0,pi) x sinx dx,移到左边可得

2 J(0,pi) x sinx dx = pi * J(0,pi) sinx dx

J(0,pi) x sinx dx = pi/2 * J(0,pi) sinx dx