解题思路：（1）判定函数的奇偶性，然后根据奇偶性图象的性质画出图象即可；（2）讨论x去掉绝对值，然后利用二次函数的性质，讨论对称轴可求出函数的最小值即可．
（1）当a=0时，f（x）=x2+|x|+1，是偶函数，图象关于y轴对称
（2）①当x＜a时，f（x）=x2-x+a+1=（x-[1/2]）2+a+[3/4]
若a≤[1/2]，则函数f（x）在（-∞，a]上单调递减，从而函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（a）=a2+1；
若a＞[1/2]，则函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（[1/2]）=a+[3/4]
②当x≥a时，f（x）=x2+x-a+1=（x+[1/2]）2-a+[3/4]
若a≤-[1/2]，则函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（-[1/2]）=-a+[3/4]且f（-[1/2]）≤f（a）
若a＞-[1/2]，则函数f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）=a2+1
综上，当a≤-[1/2]时，函数f（x）的最小值为-a+[3/4]；
当-[1/2]＜a≤[1/2]，函数f（x）的最小值为a2+1
当a＞[1/2]时，函数f （x）的最小值为[3/4]+a．
点评：
本题考点： 二次函数的性质．
考点点评： 本题主要考查了二次函数的对称性和奇偶性，以及单调性，同时考查了分类讨论的数学思想和运算求解的能力，属于中档题．