Question

从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入

Answer 1

解题思路：（1）依次写出第1年投入量，第2年投入量，等等，第n年投入量，从而求出n年内的总投入量a_n，再由第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1+[1/4]）万元，归纳出第n年旅游业收入为400×（1+[1/4]）^n-1万元．从而得出n年内的旅游业总收入b_n．

（2）先设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由b_n-a_n＞0，解得n的取值范围即可．

（1）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1-[1/5]）万元，第n年投入为800×（1-[1/5]）^n-1万元．

所以，n年内的总投入为

a_n=800+800×（1-[1/5]）+…+800×（1-[1/5]）^n-1=

n

k＝1800×(1−

1

5)k−1

=4000×[1-（[4/5]）ⁿ]；（3分）

第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1+[1/4]）万元，

第n年旅游业收入为400×（1+[1/4]）^n-1万元．

所以，n年内的旅游业总收入为

b_n=400+400×（1+[1/4]）+…+400×（1+[1/4]）^n-1=

n

k＝1400×(

5

4)k−1

=1600×[（[5/4]）ⁿ-1]．（6分）

（2）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此

b_n-a_n＞0，

即1600×[（[5/4]）ⁿ-1]-4000×[1-（[4/5]）ⁿ]＞0．

化简得5×（[4/5]）ⁿ+2×（[5/4]）ⁿ-7＞0，（9分）

设x=（[4/5]）ⁿ，代入上式得

5x²-7x+2＞0，

解此不等式，得x＜

2

5，x＞1（舍去）．

即（[4/5]）ⁿ＜[2/5]，

由此得n≥5．

答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．（12分）

点评：

本题考点： 函数模型的选择与应用．

考点点评： 本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．