解题思路：（1）由于四边形ABCD为正方形，四边形HEFG为菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，易证△AHE≌△DGH，从而有∠DHG=∠HEA，等量代换可得∠AHE+∠DHG=90°，易证四边形HEFG为正方形；
（2）过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE，由AB与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由GE为菱形的对角线，利用菱形的性质得到一对内错角相等，利用等式的性质即可得证；
（3）欲求△FCG的面积，由已知得CG的长易求，只需求出GC边的高，通过证明△AHE≌△MFG可得．
（1）证明：在△HDG和△AEH中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠A=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴HG=HE，
在Rt△HDG和△AEH中，
HG＝HE
DG＝AH，
∴Rt△HDG≌△AEH（HL），
∴∠DHG=∠AEH，
∴∠DHG+∠AHE=90°
∴∠GHE=90°，
∴菱形EFGH为正方形，
∴∠EHG=90°；
（2）证明：过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE，
∵CD∥AB，
∴∠AEG=∠MGE，
∵GF∥HE，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠FGM；
（3）由（2）得到∠AEH=∠FGM，
在Rt△AHE和Rt△GFM中，
∠A＝∠M＝90°
∠AEH＝∠FGM
HE＝FG，
∴Rt△AHE≌Rt△GFM（AAS），
∴MF=2，
∵DG=x，
∴CG=6-x，
∴S△FCG=[1/2]CG•FM=6-x．
点评：
本题考点： 正方形的性质；勾股定理；菱形的判定与性质．
考点点评： 本题考查了正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线：过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，构造全等三角形和内错角．