Question

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上一点

Answer 1

解题思路：（1）由图形直接求出三棱锥的底面积和高，代入体积公式求解；

（2）利用侧面展开分析可得当A₁M+MC取得最小值时，M为DD₁的中点，然后以A为坐标原点，建系后利用空间向量求AM与A₁C所成角的余弦值．

（1）如图，

点M到直线CC₁的距离等于CD=1，则三角形MCC₁面积S=[1/2×2×1＝1．

点A到平面MCC₁的距离为AD=1，则三棱锥A-MCC₁的体积V＝

1

3S•AD＝

1

3×1×1＝

1

3]．

（2）当A₁M+MC取得最小值时，M为DD₁的中点．

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以A为坐标原点，

分别以AB、AD、AA₁所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．

如图，

则A（0，0，0），M（0，1，1），A₁（0，0，1），C（1，1，0）．

所以

AM＝(0，1，1)，

A1C＝(1，1，−1)．

所以cos＜

AM，

A1C＞=

0×1+1×1−1×1

2•

3＝0．

所以

点评：

本题考点： 异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查了锥体的体积，考查了利用空间向量求异面直线所成的角，关键是建立正确的右手系，是中档题．