又见面了啊,感谢你之前帮我的那道题
令g(x)=f(x)-b,则g(x+y)=g(x)+g(y),
在方程g(x+y)=g(x)+g(y)中取y=x,得g(2x)=2g(x),
下面用数学归纳法证明对一切n∈Z,x∈R,均有g(nx)=ng(x),
归纳基础已经证得,假设当n=k时有g(kx)=kg(x),
则当n=k+1时,g((k+1)x)=g(kx)+g(x)=kg(x)+g(x)=(k+1)g(x),
因此对一切n∈Z,x∈R,均有g(nx)=ng(x),
则当x=1时,有g(n)=ng(1),
设r=p/q,其中p,q∈Z,
则qg(r)=g(p)=pg(1),即g(p/q)=pg(1)/q,
故对一切r∈Q均有g(r)=rg(1),
下面结合可加性与单调性证明对于一切x∈R均有g(x)=xg(1),
若g(x)是单调递增函数,
任取实数x,根据有理数在实数中的稠密性,可以选取一列有理数｛pn｝递增地
趋向于x和一列有理数｛qn｝递减地趋向于x.根据g(x)的单调性可得
png(1)=g(pn)≤g(x)≤g(qn)=qng(1),n=1,2,3,……
在上式两边令n趋向于无穷,可得xg(1)≤g(x)≤xg(1),
同理若g(x)是单调递减函数,可得xg(1)≥g(x)≥xg(1),
故对一切x∈R均有g(x)=xg(1),
令g(1)=c,则g(x)=cx,故f(x)=g(x)+b=cx+b.