已知函数f(x)=loga[x−3/x+3],g(x)=1+loga(x-1),(a>0且a≠1),设f(x)和g(x)

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  • 解题思路:由函数f(x)的解析式求得f(x)的定义域为(-∞,-3)∪(3,+∞).同理求得函数g(x)的定义域为(1,+∞),可得D=(3,+∞),根据f(x)在[m,n](m<n)上的值域是[g(n),g(m)],可得 g(x)在[m,n]上是减函数,故有0<a<1.

    ∵函数f(x)=loga[x−3/x+3],∴[x−3/x+3]>0,解得x>3,或x<-3,

    故函数f(x)的定义域为(-∞,-3)∪(3,+∞).

    ∵g(x)=1+loga(x-1),(a>0且a≠1),

    ∴x>1,故函数g(x)的定义域为(1,+∞).

    设f(x)和g(x)的定义域的公共部分为D,则D=(3,+∞),

    ∵当[m,n]⊂D时,f(x)在[m,n](m<n)上的值域是[g(n),g(m)],

    ∴g(x)在[m,n]上是减函数,故有0<a<1.

    即实数a的取值范围为(0,1).

    点评:

    本题考点: 对数函数图象与性质的综合应用.

    考点点评: 本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用,属于中档题.