若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1≠x2有下列结论:①x1=2,x2=3;②m>-

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  • 解题思路:将已知的一元二次方程整理为一般形式,根据方程有两个不相等的实数根,得到根的判别式大于0,列出关于m的不等式,求出不等式的解集即可对选项②进行判断;再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m,这只有在m=0时才能成立,故选项①错误;将选项③中的二次函数解析式整理后,利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入,整理得到确定出二次函数解析式,令y=0,得到关于x的方程,求出方程的解得到x的值,确定出二次函数图象与x轴的交点坐标,即可对选项③进行判断.

    一元二次方程(x-2)(x-3)=m化为一般形式得:x2-5x+6-m=0,

    ∵方程有两个不相等的实数根x1、x2

    ∴b2-4ac=(-5)2-4(6-m)=4m+1>0,

    解得:m>-[1/4],故选项②正确;

    ∵一元二次方程实数根分别为x1、x2

    ∴x1+x2=5,x1x2=6-m,

    而选项①中x1=2,x2=3,只有在m=0时才能成立,故选项①错误;

    二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m=x2-(x1+x2)x+x1x2+m=x2-5x+(6-m)+m=x2-5x+6=(x-2)(x-3),

    令y=0,可得(x-2)(x-3)=0,

    解得:x=2或3,

    ∴抛物线与x轴的交点为(2,0)或(3,0),故选项③正确.

    综上所述,正确的结论有2个:②③.

    故答案为:②③.

    点评:

    本题考点: 抛物线与x轴的交点.

    考点点评: 此题考查了抛物线与x轴的交点,一元二次方程的解,根与系数的关系,以及根的判别式的运用,是中考中常考的综合题.