(2010•石家庄二模)在图1到图3中,点O是正方形ABCD对角线AC的中点,△MPN为直角三角形,∠MPN=90°.正

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  • 解题思路:(1)根据利用正方形的性质和直角三角形的性质即可判定四边形BEOF为正方形,从而得到结论;

    (2)当移动到点P的位置时,可以通过证明四边形BEPF为矩形来得到两条线段的数量关系;

    (3)继续变化,有相同的关系,其证明方法也类似.

    (1)由题意得:

    ∠BAC=∠BCA=45°,AO=PA,

    ∠AEO=∠AFO,

    在△AEO和△CFO中

    ∠OEA=∠OFC

    ∠EAO=∠FOC

    AO=CO,

    ∴△AEO≌△CFO(AAS)

    ∴OE=OF(相等);(1分)

    (2)OE=OF,OE⊥OF;(3分)

    证明:连接BO,

    ∵在正方形ABCD中,O为AC中点,

    ∴BO=CO,BO⊥AC,∠BCA=∠ABO=45°,(4分)

    ∵PF⊥BC,∠BCO=45°,

    ∴∠FPC=45°,PF=FC.

    ∵正方形ABCD,∠ABC=90°,

    ∵PF⊥BC,PE⊥AB,

    ∴∠PEB=∠PFB=90°.

    ∴四边形PEBF是矩形,

    ∴BE=PF.(5分)

    ∴BE=FC.

    ∴△OBE≌△OCF,

    ∴OE=OF,∠BOE=∠COF,(7分)

    ∵∠COF+∠BOF=90°,

    ∴∠BOE+∠BOF=90°,

    ∴∠EOF=90°,

    ∴OE⊥OF.(8分)

    (3)OE=OF(相等),OE⊥OF(垂直).(10分)

    点评:

    本题考点: 正方形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;矩形的判定与性质;平移的性质.

    考点点评: 本题考查了正方形的性质,解题的关键是抓住动点问题,化动为静,还要大胆的猜想.