Question

线性代数设实矩阵A满足A^2-3A+2E=0,则A的特征值为什么只能取1或2,而不是1和2?

Answer 1

设A的特征值是λ,则λ^2-3λ+2 是 A^2-3A+2E 的特征值.

已知 A^2-3A+2E = 0,

又因为零矩阵的特征值只能是零,

所以 λ^2-3λ+2 = 0,即 (λ -1)(λ - 2) = 0.所以 λ=1 或 λ = 2.

即 A的特征值只能是1或2.

因为 λ^2-3λ+2 = 0不是特征值方程,而是我们假设已知A的特征值之后,来求A^2-3A+2E的特征值的一个式子（是一个必要条件,而不是充要条件,即,A^2-3A+2E的特征值一定满足这个式子,但是满足这个式子的不一定是特征值)

只有|λE-A|=0,也就是特征方程的根,才全部都是特征值