Question

如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=[1/2]．

Answer 1

解题思路：（1）作CE∥AB交AD的延长线于E，由∠ABC=∠BAD=90°，SA⊥平面ABCD，可证得SA⊥面ABCD，进而CE⊥面SAD，则∠CSE是SC与平面ASD所成的角，解Rt△CES即可得到答案．

（2）由SA⊥面ABCD，知面ABCD⊥面SAB，△SCD在面SAB的射影是△SAB，分别求出而△SAB的面积和△SCD的面积，代入cosφ=

S

△SAB

S

△SCD

，即可得到答案．

（1）作CE∥AB交AD的延长线于E，

∵AB⊥AD，

∴CE⊥AD．

又∵SA⊥面ABCD，

∴CE⊥SA，SA∩AD=A，

∴CE⊥面SAD，SE是SC在面SAD内的射影，

∴∠CSE=θ是SC与平面ASD所成的角，

易得SE=

2，SC=

3，

∴在Rt△CES中，cosθ=[CE/SC]=

6

3

（2）由SA⊥面ABCD，知面ABCD⊥面SAB，

∴△SCD在面SAB的射影是△SAB，

而△SAB的面积S₁=[1/2]×SA×AB=[1/2]，

设SC的中点是M，∵SD=CD=

5

2，

∴DM⊥SC，DM=

2

2

∴△SCD的面积S₂=[1/2]×SC×DM

6

4

设平面SAB和平面SCD所成角为φ，

则由面积射影定理得cosφ=

S△SAB

S△SCD=

6

3

点评：

本题考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．

考点点评： 本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面所成的角，其中（1）的关键是证得∠CSE是SC与平面ASD所成的角，（2）的关键是证得，△SCD在面SAB的射影是△SAB，进而cosφ=S△SABS△SCD．