Question

已知函数f（x）=（2x2-6x+a+6）•ex（e为自然对数的底数）．

Answer 1

解题思路：（1）f′（x）=（2x²-2x+a）•e^x，分别讨论a的取值范围，从而求出其单调区间，

（2）由题意：g（x）=（2x²-4x+2）•e^x，假设存在区间[m，n]⊆（1，+∞），使得当x∈[m，n]时函数g（x）的值域为[2m，2n]，即n＞m＞1，通过讨论得出，h（x）在（1，+∞）只存在一个零点，与方程g（x）=2x有两个大于1的相异实根相矛盾，所以假设不成立，所以不存在m，n符合题意．

（1）f′（x）=（2x²-2x+a）•e^x=[2(x−

1

2)2+a-[1/2]]•e^x，

①当a≥[1/2]时，由f′x）≥0恒成立，

∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；

②当a＜[1/2]时，f′（x）＞0，

解得：x＜[1/2]-

1−2b

2或x＞[1/2]+

1−2b

2，

（ⅰ）若a≤0，则[1/2]-

1−2b

2≤0，[1/2]+

1−2b

2≥1，

∴f（x）在（0，[1/2]+

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考察了函数的单调性，求函数的单调区间，导数的应用，本题属于有一定难度的问题．