解题思路：（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值．
（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac=4（m-2）2-4（m2-3m+3）=-4m+4＞0，
∴m＜1，
结合题意知：-1≤m＜1．
（1）∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=4（m-2）2-2（m2-3m+3）=2m2-10m+10=6
∴m＝
5±
17
2，
∵-1≤m＜1，
∴m＝
5−
17
2；
（2）
mx12
1−x1+
mx22
1−x2=
m[x12+x22−x1x2(x1+x2)]
(1−x1)(1−x2)＝
m(2m3−8m2+8m−2)
m2−m
=
2m(m−1)(m2−3m+1)
m(m−1)＝2(m2−3m+1)＝2(m−
3
2)2−
5
2（-1≤m＜1）．
∴当m=-1时，式子取最大值为10．
点评：
本题考点： 二次函数的性质；根的判别式；根与系数的关系．
考点点评： 本题的计算量比较大，需要很细心的求解．用到一元二次方程的根的判别式△=b2-4ac来求出m的取值范围；利用根与系数的关系x1+x2=−ba，x1x2=[c/a]来化简代数式的值．