已知,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,M为BC的中点,∠ABC=2∠ACB.

2个回答

  • 解题思路:(1)首先证明根据直角三角形的性质可得DN=[1/2]AC=NC,再根据三角形中位线定理可得MN=[1/2]AB,且MN∥AB,再证明∠MDN=∠MND,根据等角对等边DM=MN,进而得到DM=[1/2]AB;

    (2)取AC的中点N,连接DN,MN,证法与(1)类似.

    (1)∵AD⊥BC,

    ∴△ADC是直角三角形.

    又∵N是AC边上的中点,

    ∴DN=[1/2]AC=NC,

    ∴∠NDC=∠ACD,

    ∵M,N分别是BC,AC的中点,

    ∴MN是△ABC的中位线,

    ∴MN=[1/2]AB,且MN∥AB,

    ∴∠ABC=∠NMC=∠NDM+∠DNM,

    又∵∠ABC=2∠ACB=2∠DNC,

    ∴2∠NDC=∠NDM+∠DNM,

    ∴∠MDN=∠MND,

    ∴DM=MN.

    ∴DM=[1/2]AB;

    (2)DM=[1/2]AB仍然成立,

    理由如下:取AC的中点N,连接DN,MN.

    ∵AD⊥BC,

    ∴△ADC是直角三角形,

    又∵N是AC边上的中点,

    ∴DN=[1/2]AC=NC.

    ∴∠NDC=∠ACD.

    ∵M,N分别是BC,AC的中点,

    ∴MN是△ABC的中位线,

    ∴MN=[1/2]AB且MN∥AB,

    ∴∠ABC=∠NMC=∠NDM+∠DNM,

    又∵∠ABC=2∠ACB=2∠NDC,

    ∴2∠NDC=∠NDM+∠DNM,

    即2∠NDM=∠NDM+∠DNM,

    ∴∠NDM=∠DNM,

    ∴DM=MN,

    ∴DM=[1/2]AB.

    点评:

    本题考点: 三角形中位线定理;直角三角形斜边上的中线.

    考点点评: 此题主要考查了三角形中位线定理,关键是掌握三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半;在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.