Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C 1 与经过

Answer 1

（1）A（-1，0），B（3，0）；（2）存在，

；（3）-1或-

.

试题分析：（1）将y=mx ²-2mx-3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标；

（2）先用待定系数法得到抛物线C ₁的解析式，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线BC的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到△PBC面积的最大值；

（3）先表示出DM ²，BD ²，MB ²，再分两种情况：①DM ²+BD ²=MB ²时；②DM ²+MB ²=BD ²时，讨论即可求得m的值．

试题解析：（1）y=mx ²-2mx-3m=m（x-3）（x+1），

∵m≠0，

∴当y=0时，x ₁=-1，x ₂=3，

∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）设C ₁：y=ax ²+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：

，解得

，

故C ₁：y=

x ²-x-

．

依题意，设点P的坐标为（n，

n ²-n-

）(0

则S _{∆ PBC}=S _{∆ POC}+S _{∆ BOP}-S _{∆ BOC} =

×

×n+

×3×(-

n ²+n+

)-

×3×

=-

(n-

) ²+

∵-

＜0,

∴当n=

时S _{∆ PBC}的最大值是

（3）y=mx ²-2mx-3m=m（x-1） ²-4m，顶点M坐标（1，-4m），

当x=0时，y=-3m，

∴D（0，-3m），B（3，0），

∴DM ²=（0-1） ²+（-3m+4m） ²=m ²+1，

MB ²=（3-1） ²+（0+4m） ²=16m ²+4，

BD ²=（3-0） ²+（0+3m） ²=9m ²+9，

当△BDM为Rt△时有：DM ²+BD ²=MB ²或DM ²+MB ²=BD ²．

①DM ²+BD ²=MB ²时有：m ²+1+9m ²+9=16m ²+4，

解得m=-1（∵m＜0，∴m=1舍去）；

②DM ²+MB ²=BD ²时有：m ²+1+16m ²+4=9m ²+9，

解得m=-

（m=

舍去）．

综上，m=-1或-

时，△BDM为直角三角形．

考点: 二次函数综合题．