已知数列{an}的前Sn项和为（an-Sn-1）2 - 知识问答

已知数列{an}的前Sn项和为（an-Sn-1）2=Sn•Sn-1（n≥2），且a1=1，an＞0．

1个回答

解题思路：（ I）令n=2，得
(
a
2
−
a
1
)
2
＝(
a
1
+
a
2
)•
a
1
，化简得：
a
2
2
−3
a
2
＝0
求出a₂；由题意得
(
S
n
−2
S
n−1
)
2
＝
S
n
•
S
n−1
整理得：（S_n-S_n-1）（S_n-4S_n-1）=0
S
n
S
n−1
＝4
得出{S_n}是等比数列．
（ II）由（ I）知，
S
n
＝
4
n−1
求出
b
n
＝(−1
)
n
(2n−2)
通过对n分类讨论求出和或用错位相减法求和．
（ I）令n=2，得(a2-a1)2=(a1+a2)•a1，
化简得：a22-3a2=0
∵a_n＞0，
∴a₂=3…（2分）
由题意得(Sn-2Sn-1)2=Sn•Sn-1…（4分）
整理得：（S_n-S_n-1）（S_n-4S_n-1）=0
∴a_n（S_n-4S_n-1）=0…（5分），
∴a_n＞0，∴
Sn
Sn-1=4
∴{S_n}是等比数列…（7分）
（ II）由（ I）知，Sn=4n-1…（8分）
∴bn=(-1)n(2n-2)…（10分）
∴Tn=2×[0+1-2+3-4+…+(-1)n(n-1)]
=
1-n，n为奇数
n，n为偶数.
…（14分）
点评：
本题考点：数列的求和．
考点点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，求解数列的和方法的应用，属于数列知识的综合应用．

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