如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BE⊥AD,BE交AD的延长线于点E,点F在AB上,且EF∥AC.求证:点F是AB

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  • 解题思路:由AD为角平分线,利用角平分线定义得到一对角相等,再由EF与AC平行,利用两直线平行内错角相等得到一对角相等,等量代换可得出∠AEF=∠BAE,利用等角对等边得到AF=EF,再由AE与AD垂直,利用垂直的定义及直角三角形的两锐角互余,得到两对角之和为90°,由∠AEF=∠BAE,利用等角的余角相等可得出∠BEF=∠ABE,利用等角对等边得到BF=EF,等量代换得到AF=BF,即F为AB的中点,得证.

    证明:∵AD平分∠BAC,

    ∴∠BAE=∠CAE,

    ∵EF∥AC,

    ∴∠AEF=∠CAE,

    ∴∠AEF=∠BAE,

    ∴AF=EF,

    又∵BE⊥AD,

    ∴∠BAE+∠ABE=90°,∠BEF+∠AEF=90°,

    又∠AEF=∠BAE,

    ∴∠ABE=∠BEF,

    ∴BF=EF,

    ∴AF=BF,

    ∴F为AB中点.

    点评:

    本题考点: 等腰三角形的判定与性质.

    考点点评: 此题考查了等腰三角形的判定与性质,平行线的性质,利用了转化及等量代换的思想,其中等腰三角形的判定方法简称“等角对等边”;等腰三角形的性质简称“等边对等角”.