Question

已知{an}是等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1，记Sn为数列{bn}的前n项和，

Answer 1

解题思路：（1）设{a_n}的公差为d，由a₁=b₁，把b_k=a_m代入a₁q^k-1=a₁，进而可表示出S_k-1，题设得证．

（2）利用）b₃=a₁q²，a_i=a₁+（i-1）a₁（q-1），进而可得q²=1+（i-1）（q-1），q²-（i-1）q+（i-2）=0，整理即可求得q=i-2，进而可判定i-2是整数，即q是整数，设数列{b_n}中任意一项为b_n=a₁q^n-1（n∈N⁺），设数列{a_n}中的某一项a_m（m∈N⁺）=a₁+（m-1）a₁（q-1）只要证明存在正整数m，使得b_n=a_m，即在方程a₁q^n-1=a₁+（m-1）a₁（q-1）中m有正整数解即可．

（3）设数列{b_n}中有三项b_m，b_n，b_p（m＜n＜p，m，n，p∈N⁺）成等差数列，利用等差中项的性质建立等式，设n-m=x，p-n=y，进而可得以2=

1

q

x

+

q

y

，令x=1，y=2，求得q．

设{a_n}的公差为d，由a₁=b₁，a₂=b₂≠a₁，知d≠0，q≠1，d=a₁（q-1）（a₁≠0）

（1）因为b_k=a_m，所以a₁q^k-1=a₁+（m-1）a₁（q-1），q^k-1=1+（m-1）（q-1）=2-m+（m-1）q，

所以Sk−1＝

a1(1−qk−1)

1−q＝

a1(m−1−(m−1)q)

q＝(m−1)a1

（2）b₃=a₁q²，a_i=a₁+（i-1）a₁（q-1），由b₃=a_i，

所以q²=1+（i-1）（q-1），q²-（i-1）q+（i-2）=0，解得，q=1或q=i-2，但q≠1，所以q=i-2，因为i是正整数，所以i-2是整数，即q是整数，设数列{b_n}中任意一项为b_n=a₁q^n-1（n∈N⁺），设数列{a_n}中的某一项a_m（m∈N⁺）=a₁+（m-1）a₁（q-1）

现在只要证明存在正整数m，使得b_n=a_m，即在方程a₁q^n-1=a₁+（m-1）a₁（q-1）中m有正整数解即可，m-1=

qn−1−1

q−1=1+q+q²+…+q^n-2，所以m=2+q+q²+q^n-2，若i=1，则q=-1，那么b_2n-1=b₁=a₁，b_2n=b₂=a₂，当i≥3时，因为a₁=b₁，a₂=b₂，只要考虑n≥3的情况，因为b₃=a_i，所以i≥3，因此q是正整数，所以m是正整数，因此数列{b_n}中任意一项为b_n=a₁q^n-1（n∈N⁺）与数列{a_n}的第2+q+q²+q^n-2项相等，从而结论成立．

（3）设数列{b_n}中有三项b_m，b_n，b_p（m＜n＜p，m，n，p∈N⁺）成等差数列，则有

2a₁q^n-1=a₁q^m-1+a₁q^p-1，设n-m=x，p-n=y，（x，y∈N⁺），所以2=[1

qx+qy，令x=1，y=2，则q³-2q+1=0，（q-1）（q²+q-1）=0，因为q≠1，所以q²+q-1=0，所以q＝

5−1/2(舍去负值)，即存在q＝

5−1

2]使得{b_n}中有三项b_m，b_m+1，b_m+3（m∈N⁺）成等差数列．

点评：

本题考点： A:数列的求和 B:等差数列的性质 C:等比数列的性质

考点点评： 本题主要考查了数列的求和问题．考查了学生对数列基本知识点的综合掌握．