Question

求微分方程(2x+e^y+2)dx+e^y（x+2e^y-1）dy=0的通解

Answer 1

题目是不是应该Mdx-Ndy=0的形式?

若果属于Mdx-Ndy=0的形式,则由于

dM/dy=e^y,dN/dx=e^y

所以,用待定函数法,设∫Mdx=∫(2x+e^y+2)dx=h(x,y)=f(x)+g(y)

即∫(2x+e^y+2)dx=(x^2)+x(e^y)+2x+g(y)

则dh/dy=x(e^y)+g'(y)=(e^y)(x+2e^y-1)

所以,g'(y)=2[e^(2y)]-e^y

解得g(y)=∫{2[e^(2y)]-e^y}dy=[e^(2y)]-(e^y)+C

综上可知,通解为

h(x,y)=(x^2)+x(e^y)+2x+[e^(2y)]-(e^y)+C

=(x-1)(e^y)+[e^(2y)]+(x^2)+2x+C