Question

已知m∈R，圆C：x2+y2-2mx+2（m-1）y+2m2-2m+[1/2]=0

Answer 1

解题思路：（1）化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标，消参后得到圆心轨迹方程，则答案可证；

（2）设出直线方程的斜截式，化为一般式，由圆心到直线的距离等于圆的半径得到关于m的一元二次方程，由对任意实数m方程恒成立，得到系数为0，联立方程组求得k和b的值，则定直线的方程可求．

（1）证明：由C：x²+y²-2mx+2（m-1）y+2m²-2m+[1/2]=0，得

(x−m)2+(y+m−1)2＝

1

2，

∴圆心C（m，1-m），

设圆心坐标为（x，y），

则

x＝m

y＝1−m，消去m得，x+y-1=0．

∴圆心C在定直线x+y-1=0上；

（2）设该直线方程为：y=kx+b，则C（m，1-m）到该直线的距离为

2

2，

∴

|km−(1−m)+b|

k2+1＝

2

2，

即：2（k+1）²m²+4（k+1）（b-1）m+2（b-1）²-k²-1=0．

由上述等式对于任意的m均成立，

∴

点评：

本题考点： 圆的切线方程；圆的一般方程．

考点点评： 本题考查圆的一般式和标准式方程的互化，训练了点到直线的距离公式的应用，体现了数学转化思想方法，解答（2）的关键是把问题转化为关于m的方程恒成立，是中档题．