各项均为正数的等比数列{an}中,若a1≥1,a2≤2,a3≥3,则a4的取值范围是 ___ .

4个回答

  • 解题思路:根据题中的不等式组,联想到运用线性规划的知识解决问题.因此,将所得的不等式的两边都取常用对数,得到关于lga1和lgq的一次不等式组,换元:令lga1=x,lgq=y,lga4=t,得到关于x、y的二次一次不等式组,再利用直线平移法进行观察,即可得到a4的取值范围.

    设等比数列的公比为q,根据题意得:

    a1≥1

    a2=a1q≤2

    a3=a1q2≥3

    a4=a1q3,

    ∴各不式的两边取常用对数,得

    lga1≥0

    lga1+lgq≤lg2

    lga1+2lgq≥lg3

    lga4=lga1+3lgq

    令lga1=x,lgq=y,lga4=t

    将不等式组化为:

    x≥0

    x+y≤lg2

    x+2y≥lg3

    t=x+3y,

    作出以上不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部

    其中A(0,lg2),B(2lg2-lg3,lg3-lg2),C(0,[1/2]lg3)

    将直线l:t=x+3y进行平移,可得

    当l经过点A时,t=3lg2取得最大值;当l经过点B时,t=-lg2+2lg3取得最小值

    ∴t=lga4∈[-lg2+2lg3,3lg2],即lga4∈[lg[9/2],lg8]

    由此可得a4的取值范围是[

    9

    2,8]

    故答案为:[

    9

    2,8]

    点评:

    本题考点: 简单线性规划;等比数列;等比数列的通项公式.

    考点点评: 本题给出等比数列,在已知a1≥1,a2≤2,a3≥3的情况下求a4的取值范围.着重考查了等比数列的通项公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题.