解题思路:根据题中的不等式组,联想到运用线性规划的知识解决问题.因此,将所得的不等式的两边都取常用对数,得到关于lga1和lgq的一次不等式组,换元:令lga1=x,lgq=y,lga4=t,得到关于x、y的二次一次不等式组,再利用直线平移法进行观察,即可得到a4的取值范围.
设等比数列的公比为q,根据题意得:
a1≥1
a2=a1q≤2
a3=a1q2≥3
a4=a1q3,
∴各不式的两边取常用对数,得
lga1≥0
lga1+lgq≤lg2
lga1+2lgq≥lg3
lga4=lga1+3lgq
令lga1=x,lgq=y,lga4=t
将不等式组化为:
x≥0
x+y≤lg2
x+2y≥lg3
t=x+3y,
作出以上不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部
其中A(0,lg2),B(2lg2-lg3,lg3-lg2),C(0,[1/2]lg3)
将直线l:t=x+3y进行平移,可得
当l经过点A时,t=3lg2取得最大值;当l经过点B时,t=-lg2+2lg3取得最小值
∴t=lga4∈[-lg2+2lg3,3lg2],即lga4∈[lg[9/2],lg8]
由此可得a4的取值范围是[
9
2,8]
故答案为:[
9
2,8]
点评:
本题考点: 简单线性规划;等比数列;等比数列的通项公式.
考点点评: 本题给出等比数列,在已知a1≥1,a2≤2,a3≥3的情况下求a4的取值范围.着重考查了等比数列的通项公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题.