Question

已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2-y24=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的

Answer 1

由题意，C₂的焦点为（±

5，0），一条渐近线方程为y=2x，

根据对称性可知以C₁的长轴为直径的圆交y=2x于A、B两点，满足AB为圆的直径且AB=2a

∵椭圆C₁与双曲线C₂有公共的焦点，

∴C₁的半焦距c=

5，可得a²-b²=5，…①

设C₁与y=2x在第一象限的交点的坐标为C（m，2m），

代入C₁的方程，解得m2＝

a2b2

b2+4a2，…②

由对称性可得直线y=2x被C₁截得的弦长CD=2

5m，

结合题意得2

5m=[2a/3]，所以m＝

a

3

5，…③

由②③联解，得a²=11b²…④

再联解①④，可得得a²=5.5，b²=0.5

故答案为：0.5