条件应该是a ∈ (0,1)吧.
考虑映射f:R → R,f(x) = a·sin(x).
对任意x,y ∈ R,|f(x)-f(y)| = a|sin(x)-sin(y)|
= 2a|sin((x-y)/2)cos((x+y)/2)|
≤ 2a|(x-y)/2| (|sin(t)| ≤ |t|,|cos(t)| ≤ 1)
= a|x-y|.
a ∈ (0,1),故f是完备度量空间R上的压缩映射.
由压缩映射原理,f在R上存在唯一不动点,即x = f(x)恰有1个解.
然而易见x = 0已经是1个解,所以是x = a·sin(x)的唯一解.
说实话这里使用压缩映像原理有点多余,对x ≠ 0直接用|sin(x)| < |x|放缩即可.