Question

求y=xy'Inx+(xy')^2的通解

Answer 1

令x=e^t,dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)=(dy/dt)/x

原式就化为y关于自变量t的方程:y=ty'+(y')² ------------------- ①式

等式两边同时对t求导得到y'=y'+ty''+2y'y'',得到y''(t+2y')=0,

y''=0或者y'=-t/2

1.若y''=0,则y'=C,代入①式得到y=Ct+C² ,y=Clnx+C²

2.若y'=-t/2,代入①式得到:y=t(-t/2)+(-t/2)²,y=-(lnx)²/4

综上,y=Clnx+C²为原方程通解,y=-(lnx)²/4为原方程奇解