如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC.将△ACD沿对角线AC翻折后,点D恰好与边AB的中点M重合.

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  • 解题思路:(1)连接MC,根据对折前后的两个角完全重合,利用角的关系证明AD∥MC,然后证明出四边形AMCD是平行四边形,根据平行四边形的对边相等得到AM=CD,从而得到AM=MC,又点M是AB的中点,所以AM=MC=MB,从而得证;

    (2)先证明△BCM是等边三角形,然后求出等边三角形BM边上的高,再利用梯形的面积公式列式计算即可.

    (1)点C在以AB为直径的圆上.

    理由如下:连接MC,

    ∵AB∥CD,

    ∴∠DCA=∠BAC,

    ∵∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠MCA,

    ∴∠DAC=∠MCA,

    ∴AD∥MC,

    ∴四边形AMCD是平行四边形,

    ∴AM=CD,

    ∵△ACD沿对角线AC翻折后,点D恰好与边AB的中点M重合,

    ∴DC=MC,

    ∴AM=MC,

    ∵点M是AB的中点,

    ∴AM=BM,

    ∴AM=MC=BM,

    ∴点C在以AB为直径的圆上;

    (2)由(1)得四边形AMCD是平行四边形,

    ∴AD=MC,

    ∵AD=BC,

    ∴MC=BC,

    ∴△BCM是等边三角形,

    ∵AB=4,

    ∴BC=BM=[1/2]AB=2,

    过点C作CE⊥MB,垂足为E,

    则BE=[1/2]MB=1,

    由勾股定理得,CE=

    BC2−BE2=

    22−12=

    3,

    ∴梯形ABCD的面积=[1/2](2+4)×

    3=3

    3.

    点评:

    本题考点: 等腰梯形的性质;等边三角形的性质;勾股定理;平行四边形的判定与性质;点与圆的位置关系.

    考点点评: 本题主要考查了等腰梯形的性质,平行四边形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理的应用,综合性较强,作出辅助线把梯形的问题转化为平行四边形与的问题是解题的关键.