Question

设f(x)是R上的连续函数,试证：对于任意常数a>0,均有

Answer 1

在a=0时,显然等式两边都等于0,

而令F(a)等于两个式子相减,

再对F(a)求导得到

F'(a)=a^3 *f(a²) - 1/2 *a² *f(a²) *(a²)'

显然(a²)'=2a

那么

F'(a)=a^3 *f(a²) - 1/2 *a² *f(a²) *2a

=a^3 *f(a²) -a^3 *f(a²)

=0

即F(a)的导数恒为0,

F(a)的值不变,

又F(0)=0,

那么在a>0时,

F(a)=0,

即两个式子在a>0时恒相等