Question

求函数y=[2/x−1]在区间[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

解题思路：先证明函数的单调性，用定义法，由于函数y=[2/x−1]在区间[2，6]上是减函数，故最大值在左端点取到，最小值在右端点取到，求出两个端点的值即可．

设x₁、x₂是区间[2，6]上的任意两个实数，且x₁＜x₂，则

f（x₁）-f（x₂）=[2

x1−1−

2

x2−1

=

2[(x2−1)−(x1−1)]

(x1−1)(x2−1)

=

2(x2−x1)

(x1−1)(x2−1)．

由2＜x₁＜x₂＜6，得x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，

于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．

所以函数y=

2/x−1]是区间[2，6]上的减函数，

因此，函数y=[2/x−1]在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值，

即当x=2时，y_max=2；当x=6时，y_min=[2/5]．

点评：

本题考点： 函数的最值及其几何意义．

考点点评： 本题考查函数的单调性，用单调性求最值是单调性的最重要的应用．