已知点B′为圆A：（x-1）2+y2=8上任意一点 - 知识问答

已知点B′为圆A：（x-1）2+y2=8上任意一点、点B（-1，0）．线段BB′的垂直平分线和线段AB′相交于点M．

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解题思路：（1）求出A的坐标，由题意可知M满足椭圆的定义，求a、b可得它的方程．
（2）设出定点利用对称知识，和已知直线垂直，中点在已知直线上，解出定点坐标即可．
（1）连接MB，
∴MB=MB'，MA+MB′=AB′=2
2
故MA+MB=2
2、而AB=2（4分）
∴点M的轨迹是以A、B为焦点且长轴长为2
2的椭圆．
∴点M的轨迹E的方程为
x2
2+y2=1（8分）
（2）证明：设点P(
3x0-2
2-x0，
4y0
2-x0)
关于直线x₀x+2y₀y=2的对称点为Q（a，b）
所以
4y0
2-x0-b
3x0-2
2-x0-a=
2y0
x0．
即
4y0-b(2-x0)
3x0-2-a(2-x0)=
2y0
x0（10分）
∴bx₀（2-x₀）=2y₀（2-x₀）（a+1）．
∵x₀≠2
∴bx₀-2y₀（a+1）=0（14分）
因为上式对任意x₀，y₀成立，
故
a+1=0
b=0
所以对称点为定点Q（-1，0）．（16分）
点评：
本题考点：圆的标准方程；与直线关于点、直线对称的直线方程；轨迹方程．
考点点评：本题考查圆的标准方程，点关于直线对称问题，轨迹的求法，是难题．

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