Question

如果过曲线C1：y=x2-1上一点P的切线l与曲线C2：x2+y24＝1相交所得弦为AB．

Answer 1

解题思路：（1）设点P（t，t2-1），因为对曲线C1而言，所以l的斜率为y'|x=t=2t，直线l的方程为y=2tx-（t2+1）．由y＝2tx−(t2+1)x2+y24＝1，得4（1+t2）x2-4t（1+t2）x+（1-t2）（3+t2）=0．再由根的判别式和韦达定理能够证明弦AB的中点在一条定直线l0：y=-1上．（2）由P，Q两点关于y轴对称，知Q（-t，t2-1）．设EF的方程为y=2tx+b，代入y=x2-1得x2-2tx-b-1=0．设E（xE，xE2-1），F（xF，xF2-1），则xE+xF=2t，因为kQF＝(x2F−1)−(t2−1)xF+t＝xF−t，同理kQF=xE-t．所以kQF+kQE=（xE+xF）-2t=0．由此能够判断△EQF为直角三角形．

（1）设点P（t，t²-1）

因为对曲线C₁而言，所以l的斜率为y'|_x=t=2t，直线l的方程为y=2tx-（t²+1）．

由

y＝2tx−(t2+1)

x2+

y2

4＝1，得4（1+t²）x²-4t（1+t²）x+（1-t²）（3+t²）=0．

由△=-16（1+t²）（t²-3）＞0得−

3＜t＜

3．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为（x₀，y₀），则x₁+x₂=t，y₁+y₂=2t（x₁+x₂）-2（t²+1）=-2，

从而y₀=-1．

所以弦AB的中点在一条定直线l₀：y=-1上．…（7分）

（2）由（1）知，P，Q两点关于y轴对称，所以Q（-t，t²-1）．

设EF的方程为y=2tx+b，代入y=x²-1得x²-2tx-b-1=0．设E（x_E，x_E²-1），F（x_F，x_F²-1），则x_E+x_F=2t，因为kQF＝

(

x2F−1)−(t2−1)

xF+t＝xF−t，

同理k_QF=x_E-t．所以k_QF+k_QE=（x_E+x_F）-2t=0．

若点F在直线PQ下方，则直线PQ平分∠EQF．因为∠EQP＝

π

4，所以∠EQF＝

π

2，即△EQF为直角三角形；若点F在直线PQ上方，设M为线段PQ左边延长线上一点，则∠FQM＝∠EQP＝

π

4，结论仍然成立．…（15分）

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，具有一定的难度，运算量大，解题繁琐，答题时要认真审题，合理地进行等价转化．