Question

关于x的不等式（m-2）x2-mx-1≥0的解集为{x|x1≤x≤x2}，且1≤|x1-x2|≤3，求实数m的取值范围．

Answer 1

解题思路：（m-2）x2-mx-1≥0的解为x1≤x≤x2，所以m-2＜0，m＜2

1≤|x1-x2|≤3，所以1≤（x1+x2）^2-4x1x2≤9，代入再求出m

关于x的不等式（m-2）x²-mx-1≥0的解集为{x|x₁≤x≤x₂}，所以方程（m-2）x²-mx-1=0的根为x₁，x₂． x₁+x_{2=[m/m−2]，x1×x2＝−
1
m−2
∵1≤|x1-x2|≤3，∴1≤（x1+x2）²-4x1x2≤
m24m−8
(m−2)2≤9，且（m-2）＜0，∴
3
2≤m≤
5−
3
2，
故答案为：
3
2≤m≤
5−
3
2}

点评：
本题考点： 一元二次不等式的解法．

考点点评： 考察了二次函数和二次不等式，二次方程的转换关系，用韦达定理解决