解题思路：（Ⅰ）求导数，由题意得f′（-1）=0，解出可得a；
（Ⅱ）表示出g（x），利用导数可得单调区间，通过单调区间可确定最小值；
（Ⅲ）首先由数列的递推关系式求出数列{an}的通项公式，再利用（Ⅱ）中的结论，即
g(x)＝lnx+
1
x
+2x≥3−ln2
，其中，令x=[n/n+1]，代入不等式，进行化简，累加即可证明原不等式．
（Ⅰ）∵函数f（x）=ln（-x）+ax-[1/x]，
∴f′（x）=[1/x+a+
1
x2]，
∵f（x）在x=-1时取得极值，
∴f′（-1）=-1+a+1=0，解得：a=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=ln（-x）-[1/x]，
∴f（-x）=lnx+[1/x]，
g（x）=lnx+2x+[1/x]；
∴g′（x）=[1/x]+2-[1
x2=
2x2+x−1
x2＝
(2x−1)(x+1)
x2，
令g′（x）=0，解得：x1=
1/2]，x=-1（舍），
在（0，[1/2]）上，g（x）＜0，在（[1/2]，+∞）上，g（x）＞0，
∴g（x）min=g（[1/2]）=3-ln2．
（Ⅲ）an＝1−
1
an−1+1，
∴an＝
an−1
an−1+1，[1
an＝1+
1
an−1，
∴{
1
an}是以2为首项，1为公差的等差数列．
∴
1
an=n+1．
∴an＝
1/n+1]．
由（Ⅱ）知g（x）=lnx+[1/x]+2x≥3-ln2，
令x＝
n
n+1得：
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 该题考查利用导数研究函数的极值、最值、单调性等知识，本题最后一问综合性比较强，是数列和不等式的综合应用，难度较大，特别是将（Ⅱ）中的结论应用于该数列，对x的赋值，比较困难，包括后面的化简，也是需要比较高的观察分析能力和计算能力．