Question

如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆O交BC于点D,交AC于点E,过点D作DF⊥AC,垂足为F.

Answer 1

1、连接AD,OD

∵AB是直径,

∴∠ADB=90°,即AD⊥BC

∵AB=AC,

那么根据等腰三角形底边中线,高、和顶角平分线三线合一：∠BAD=∠CAD

∵OA=OD,

∴∠BAD=∠ODA=∠CAD

∵DF⊥AC,那么RT△ADF中

∠ADF+∠CAD=90°

∴∠ADF+∠ODA=90°

即∠ODF=90°,OD⊥DF

∴DF是圆的切线

2、AB是圆直径

∴∠AEB=90°,即BE⊥AC

∵△ABC是等边三角形

∴AE=CE

∠ABE=∠CBE=1/2∠ABC=30°

∵AG∥BC,那么∠GAE=∠ACB=60°

∠AEG=∠CEG=90°,

∴∠AGE=90°-60°=30°

∵AE=CE,∠AEG=∠CEG=90°,EG=EG

∴△AEG≌△CEG(SAS)

∴∠cge=∠age=30°

∴∠AGC=∠AGE+∠CGE=30°+30°=60°