Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD，

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得

，

从而BD ²+AD ²=AB ²，故BD⊥AD，

又PD⊥底面ABCD，

可得BD⊥PD，

所以BD⊥平面PAD，

故 PA⊥BD。

（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，

射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，

则

，

，

设平面PAB的法向量为n=（x，y，z），则

，

即

，因此可取n=

，

设平面PBC的法向量为m，则

，

可取m=（0，-1，

），

∴

，

故二面角A-PB-C的余弦值为

。