Question

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，a2=8，Sn+1+4Sn-1=5Sn（n≥2），Tn是数列{log2an

Answer 1

解题思路：（1）将条件中的和关系式转化为数列的项关系，判断数列的特征，再求解；

（2）利用等差数列的前项n和公式求解即可；

（3）利用约分消项化简左式，判断n满足的条件，分析求解即可．

（1）∵当n≥2时，S_n+1+4S_n-1=5S_n，

∴S_n+1-S_n=4（S_n-S_n-1）．∴a_n+1=4a_n．

∵a₁=2，a₂=8，∴a₂=4a₁．

∴数列{a_n}是以a₁=2为首项，公比为4的等比数列．

∴an＝2•4n−1＝22n−1．

（2）由（1）得：log₂a_n=log₂2^2n-1=2n-1，

∴T_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n=1+3+…+（2n-1）=

n(1+2n−1)

2=n²．

（3）(1−

1

T2)(1−

1

T3)•…•(1−

1

Tn)=(1−

1

22)(1−

1

32)•…•(1−

1

n2)

=

22−1

22•

32−1

32•

42−1

42•…•

n2−1

n2=

1•3•2•4•3•5•…•(n−1)(n+1)

22•32•42•…•n2=[n+1/2n]．

令[n+1/2n]＞

1010

2013，解得：n＜287

4

7．

故满足条件的最大正整数n的值为287．

点评：

本题考点： 等差数列与等比数列的综合；数列的求和．

考点点评： 本题考查了等差数列的前n项和公式，数列的项与和之间的关系及数列的综合问题．