解题思路:(Ⅰ)当a=0时,求函数的导数,利用导数求函数f(x)在[1,3]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)求导数利用导数讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅲ)利用导数利用条件f(x)+3≥0恒成立,求a的取值范围.
(1)当a=0时,f′(x)=
2−x
ex,若f'(x)≥0,则x<2,若f'(x)<0,则x>2.
所以当x=2时,函数取得即极大值即最大值f(2)=[1
e2,因为f(1)=0,f(3)=
2
e3>0,
所以最小组为0.
(2)求导,得f′(x)=
(ax+1)(2−x)
ex,令f'(x)=0,则(ax+1)(2-x)=0,
当a≠0时,方程二根为−
1/a]和2.
因为−
1
2≤a<0,所以−
1
a>2,
由f'(x)<0得,x>−
1
a或x<2,此时函数单调递减,
由f'(x)>0,得−
1
a<x<2,此时函数单调递增.
(3)由f(x)+3≥0得ax2≥1-x-3ex,当x=0时,f(x)+3≥0恒成立.
当x≠0时,若f(x)+3≥0恒成立,即a≥
1−x−3ex
x2恒成立,令g(x)=
1−x−3ex
x2,只需求其最大值即可.
由g′(x)=
x(3ex−1)(2−x)
x4=0,得x=2或x=-ln3.
当-ln3<x<0或0<x<2时,g'(x)>0,当x<-ln3或x>2时,g'(x)<0,
所以当x变化时,g(x),g'(x)的变化情况如下表:
x (-∞,ln3) -ln3 (-ln3,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
g'(x) + 0 - + 0 -
g(x) 递增 极大值 递减 递增 极大值 递减由上表可知,f(x)的极大值是f(-ln3)=[1/ln3]和g(2)=−
3e2+1
4,f(x)的最大值是f(-ln3)=[1/ln3],
所以要使f(x)+3≥0恒成立,则a≥[1/ln3].
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数的值;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及求函数的最值问题,考查学生的运算能力,综合性较强,运算量较大.