已知函数f(x)=ax2+x−1ex

1个回答

  • 解题思路:(Ⅰ)当a=0时,求函数的导数,利用导数求函数f(x)在[1,3]上的最大值和最小值;

    (Ⅱ)求导数利用导数讨论函数f(x)的单调性;

    (Ⅲ)利用导数利用条件f(x)+3≥0恒成立,求a的取值范围.

    (1)当a=0时,f′(x)=

    2−x

    ex,若f'(x)≥0,则x<2,若f'(x)<0,则x>2.

    所以当x=2时,函数取得即极大值即最大值f(2)=[1

    e2,因为f(1)=0,f(3)=

    2

    e3>0,

    所以最小组为0.

    (2)求导,得f′(x)=

    (ax+1)(2−x)

    ex,令f'(x)=0,则(ax+1)(2-x)=0,

    当a≠0时,方程二根为−

    1/a]和2.

    因为−

    1

    2≤a<0,所以−

    1

    a>2,

    由f'(x)<0得,x>−

    1

    a或x<2,此时函数单调递减,

    由f'(x)>0,得−

    1

    a<x<2,此时函数单调递增.

    (3)由f(x)+3≥0得ax2≥1-x-3ex,当x=0时,f(x)+3≥0恒成立.

    当x≠0时,若f(x)+3≥0恒成立,即a≥

    1−x−3ex

    x2恒成立,令g(x)=

    1−x−3ex

    x2,只需求其最大值即可.

    由g′(x)=

    x(3ex−1)(2−x)

    x4=0,得x=2或x=-ln3.

    当-ln3<x<0或0<x<2时,g'(x)>0,当x<-ln3或x>2时,g'(x)<0,

    所以当x变化时,g(x),g'(x)的变化情况如下表:

    x (-∞,ln3) -ln3 (-ln3,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)

    g'(x) + 0 - + 0 -

    g(x) 递增 极大值 递减 递增 极大值 递减由上表可知,f(x)的极大值是f(-ln3)=[1/ln3]和g(2)=−

    3e2+1

    4,f(x)的最大值是f(-ln3)=[1/ln3],

    所以要使f(x)+3≥0恒成立,则a≥[1/ln3].

    点评:

    本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数的值;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及求函数的最值问题,考查学生的运算能力,综合性较强,运算量较大.