解题思路：根据题意求出导数，对导数配方后求出最小值，以及对应的切点坐标，代入直线的点斜式后再化为一般式．
由题意得，y′=3x2+6x+6=3（x2+2x）+6
=3（x+1）2+3，
∴当x=-1时，y′=3x2+6x+6取最小值是3，
把x=1代入y=x3+3x2+6x+4得，y=14，即切点坐标是（1，14），
∴切线方程是：y-14=3（x-1），
即3x-y+3=0，
故答案为：3x-y+3=0．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查了导数的几何意义，即在某点处的切线的斜率是该点处的导数值，以及直线方程的一般式和点斜式的应用．